Meccanica — Appunti TiTilda

Indice

Introduzione

Salve lettori, questa pagina è stata creata per riassumere o ampliare gli appunti che prendiamo a lezione, questi appunti possono servire per capire meglio l’argomento e non possono essere capiti completamente se non si seguono le lezioni. Se trovate errori o parti poco chiare vi prego di segnalarlo così provederemo a corregere. Buona lettura -NP

Capitolo Uno: Cinematica

1.1 Cinematica del punto materiale

Nella cinematica del punto la cosa fondamentale da fare è:

  1. Fissare un punto di riferimento.
  2. Settare un numero di coordinate minimo per descrivere il movimento

\begin{cases} y = f(x) \text{traiettoria} \\ s = s(t) \text{legge oraria} \end{cases}

L’ascissa curvilinea descrive lo spostamento nel tempo, o la \color{red}{legge \ oraria}

Altra Rappresentazione

Velocità

\vec{v} = lim_{\Delta \to 0} \frac{\Delta \vec{P}}{\Delta t} = lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{P}(t + \Delta t) - \vec{P}(t)}{\Delta t} = \frac{d \vec{P} (s(t))}{dt} = \frac{d \vec{P}}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = \dot{s} \frac{d \vec{P}}{ds} = \dot{s} \vec{t}

N.B. Con \vec{t} si intende la “tangente”, nelle immagini si può trovare anche in versione t corsico con il simbolo di vettore sopra.

lim_{\Delta t \to 0 (\Delta s \to 0)} |\frac{d\vec{P}}{ds}| = 1

Fatal Error

La velocità è SEMPRE tangente alla traiettoria.

Dimostriamo questa cosa:

Ricordando che i = e^{i \frac{\pi}{2}} in forma esponenziale.

\vec{v} = \dot{\varrho} e^{i \theta} + \varrho i \dot{\theta} e^{i \theta} = \dot{\varrho} e^{i\theta} + \varrho \dot{\theta}e^{i(\theta + \frac{\pi}{2})}

v_x = \dot{x}

v_y = \dot{y}

\alpha = arctan (\frac{\dot{x}}{\dot{y}})

\vec{v} = v e^{i\alpha}

v = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}

y = f(x)

tan \alpha = \frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{dy}{dx} = f'(x)

Accelerazione

\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(\dot{s} \frac{d \vec{P}}{ds}) = \ddot{s} \frac{d\vec{P}}{ds} + \dot{s} \frac{d}{dt}(\frac{d \vec{P}}{ds}) = \ddot{s}\vec{t} + \dot{s}^2 \frac{d^2\vec{P}}{ds^2} = \ddot{s}\vec{t} + \dot{s}^2\frac{\vec{n}}{\varrho}, dove \vec{n} = versore da P al centro del cerchio osculatore e \varrho = raggio osculatore.

Il cerchio osculatore condivide con la traiettoria 3 punti:

  1. P.
  2. \vec{t}(\frac{d\vec{P}}{ds}).
  3. c = \frac{1}{\varrho} con c che indica la curvatura.

Dimostriamo che \frac{d^2\vec{P}}{ds^2} = \frac{\vec{n}}{\varrho}

\frac{d^2\vec{P}}{ds^2} = \frac{d}{ds}\frac{d\vec{P}}{ds} = \frac{d\vec{t}}{ds} = lim_{\Delta s \to 0} \frac{\Delta \vec{t}}{\Delta s} = lim_{\Delta s \to 0} \frac{\vec{t'} - \vec{t}}{\Delta s} = \frac{d \alpha}{\varrho d \alpha} \vec{n} = \frac{\vec{n}}{\varrho}

|d\vec{t}| = |\vec{t}| d\alpha = d\alpha

Quindi l’accelerazione è la somma di una componente tangenziale a_t e una normale a_n.

\vec{a} = a_t \vec{t} + a_n \vec{n}

oppure è dcrivibile come:

\vec{a} = \ddot{s} \vec{t} + \dot{s^2} \frac{\vec{n}}{\varrho} = \dot{v} + \frac{v^2}{\varrho}

Fatal Error

L’accelerazione è SEMPRE composta da \vec{a} = a_t \vec{t} + a_n \vec{n} quindi da accelerazione tangenziale e normale, solo in certi casi una delle due componenti si annulla.

Gli unici due casi sono:

\varrho = \infty \implies a_n = 0

v = \text{cost} \implies \dot{v} = 0 \implies a_t = 0

1.2 Cinematica del corpo

Credo a sto punto sia ben chiaro che la prima parte di questa materia sarà sostanzialmente un ripasso di Fisica 1, introduciamo quindi un termine che potrebbe essere nuovo, l’Atto di Moto.

Atto di Moto: Valori della velocità che costituiscono un corpo in moto in un determinato istante di tempo.

Spostamento Rigido

“Esempio grafico di spostamento rigido”

Uno spostamento si definisce rigido se posso trovare un nuovo sistema di riferimento da cui la posizione è la medesima rispetto a prima dello spostamento con il vecchio sistema di rifornimento, e senza che il corpo in se muti (si rompa, si riduca, si allarghi, esploda, etc…).

  1. Per ogni spostamento, la lunghezza dei suoi componenti rimane invariata.
  2. Per ogni spostamento, l’angolo formato per ogni coppia di componenti rimane invariato.

Il corpo rigido nel piano ha 3 gradi di libertà (o gdl) ovvero può muoversi liberamente in 3 direzioni, la coordinata x, la coordinata y e l’angolo \theta che forma con il sistema di riferimento, nello spazio il corpo rigido ha 6 gdl, oltre ai tre elencati ha coordinata z e angolo dell’asse \alpha che passa per il sio centro.

Ora vedremo una sequela di movimenti che il corpo rigido può fare:

Tralsazione

Cambiano le coordinate di A e B ma \theta rimane costante, letteralmente trasla.

Rotazione

\vec{\delta} = \delta \vec{k}

Modifica la posizione mantenendo fisso un suo punto, es. A.

A è chiamato centro di rotazione.

Rototraslazione

Varia posizione e angolo, si perde il centro di rotazione.

Questo movimento si analizza spezzetandolo nei due moti:

Atto di moto

Se le componenti hanno velocità uguale in modulo, direzione e verso.

Se una componente ha una velocità a zero, quella componente viene chiamata centro di istantanea rotazione, può avere velocità \not ={0} in un altro istante.

Il centro di rotazione ha velocità nulla per tutto il moto.

Se le velocità sono tutte diverse in modulo, direzione e verso, allora esiste un CIR attorno al quale sto ruotando.

“movimento del corpo rigido”

(B - O) = (A - O) + (B - A)

(A - O) = x_A \vec{i} + y_A \vec{j}

Velocità

\frac{d}{dt} (B - O) = \frac{d}{dt} (A - O) + \frac{d}{dt} (B - A)

Teorema di Rivals per le velocità

\vec{v_B} = \vec{v_A} + \overline{AB} i \dot{\theta} e^{i\theta} = \vec{v_A} + \overline{AB} \dot{\theta} e^{i(\theta + \frac{\pi}{2})}

\vec{w} = \dot{\theta} \vec{k} = w \vec{k} = w \overline{AB}

\vec{V_B} = \vec{V_A} + \vec{w} \times (B - A) = \vec{V_A} + \vec{V_B}

Accelerazione

\vec{a_B} = \vec{a_A} + \ddot{\theta}\overline{AB} e^{i(\theta + \frac{\pi}{2})} - \overline{AB} \dot{\theta^2}e^{i\theta}

Ottengo:

Teorema di Rivals per le accelerazioni

\vec{a_B} = \vec{a_A} + \vec{a_{AB}}

\vec{a_B} = \vec{a_A} + \vec{a}_{AB}^{(t)} + \vec{a}_{AB}^{(n)}

\vec{a_B} = \vec{a_A} + \frac{d\vec{w}}{dt} \times (B - A) + \vec{w} \times \frac{d}{dt} (B - A) = \vec{a_A} + \dot{\vec{w}} \times (B - A) + \vec{w} \times [\vec{w} \times (B -A)]

\vec{a_B} = \vec{a_A} + \dot{\vec{w}} \times (B - A) - w^2 (B - A)

1.3 Vincoli

Capitolo che raggruppa e presenta le varie tipologie di vincoli.

Vincoli Tripli

Incastro

Il vincolo è triplo quindi vincola 3 gdl, che quindi impediscono i movimenti del piano, il corpo non ha più gradi di libertà.

Non può muoversi e non ruota.

\begin{cases} x_A (t) = 0\\ y_A (t) = 0\\ \theta (t) = 0 \end{cases}

\forall t

3 condizioni di vincolo - 3 gradi di libertà = 0.

Vincoli Doppi

Cerniera

\begin{cases} x_A (t) = 0\\ y_A (t) = 0 \end{cases}

\forall t, può ruotare 3 gradi di libertà - 2 condizioni di vincolo = 1 grado di libertà.

Pattino

\begin{cases} y_A (t) = 0\\ \theta (t) = 0 \end{cases}

\forall t, può muoversi parallelamente al piano, 3 gradi di libertà - 2 condizioni di vincolo = 1 grado di libertà.

Manicotto

\begin{cases} y_A (t) = 0\\ \theta (t) = 0 \end{cases}

\forall t, stessa cosa del pattino, in più nello spazio può ruotare sul proprio asse.

Vincoli Singoli

Carrello

\begin{cases} y_A (t) = 0 \end{cases}

\forall t, 3 gradi di libertà - 1 condizione di vincolo = 2 gradi di libertà rimanenti s, \theta.

Esempio di insiemi di vincoli:

“cerniera + pattino”

Teorema dei moti relativi

Asssegno un osservatore fisso in A e uno mobile in B che ruota con esso, scomponendo il moto rototraslatorio in due moti poù facili da analizzare.

“scomposizione”

dati noti: x_{O1} (t), y_{O1} (t), \theta (t)

Si sa che il punto P rispetto a O è dato da: (P - O) = (O_1 - O) + (P - O_1) \implies x_P\vec{i} + y_P\vec{j} = x_{O1}\vec{i} + y_{O1}\vec{j} + y_{P,1}\vec{i_1} + y_{P,1}\vec{j_1}.

Questo è quello che si fa sostanzialmente con i moti relativi, si crea un Sistema di Riferimento fisso (X,Y) e uno mobile (X_1,Y_1) e si determina la posizione del punto P nello spazio e nel tempo.

Velocità

\frac{d}{dt} (P - O) = \frac{d}{dt} (O_1 - O) + \frac{d}{dt} (P - O_1)

\dot{x_P}\vec{i} + \dot{y_P}\vec{j} = \dot{x_{O1}} \vec{i} +\dot{y_{O1}} \vec{j} + \dot{x_{P,1}} \vec{i_1} + \dot{y_{P,1}} \vec{j_1} + x_{P,1} \frac{d\vec{i_1}}{dt} + y_{P,1} \frac{d\vec{j_1}}{dt}

\vec{v_P} = \vec{v_{O1}} + \vec{v_{rel, P}} + \vec{w} \times (x_{P,1} \vec{i_1} + y_{P,1} \vec{j_1})

\vec{v_P} = \vec{v_{O1}} + \vec{v_{rel,P}} + \vec{w} \times (P - O_1)

Per capire il valore (P - O_1) c’è bisogno di un analisi con la scomposizione su \vec{i_1}, \vec{j_1}

|\overline{OA_1}| = |\overline{OA_2}| = 1

\begin{cases} A_1 - O_1 = \vec{i_1}\\ A_2 - O_1 = \vec{j_1} \end{cases}

\begin{cases} (A_1 - O) = (O_1 - O) + (A_1 - O_1)\\ (A_2 - O) = (0_1 - O) + (A_2 - O_1) \end{cases}

\frac{d}{dt} (A_1 - O) = \frac{d}{dt} (O_1 - O) + \frac{d}{dt} (A_1 - O_1)

\vec{v_{A_1}} = \vec{v_{O_1}} + \frac{d \vec{i_1}}{dt}

Per Rivals \vec{v_{A_1}} = \vec{v_{O_1}} + \vec{w} \times (A_1 - O_1) \implies \vec{v_{O_1}} + \vec{w} \times (A_1 - O_1) = \vec{v_{O_1}} + \frac{d \vec{i_1}}{dt}

Da qui siamo arrivati alla soluzione che cercavamo con la scomposizione, questo si chiama Poisson.

\frac{d \vec{i_1}}{dt} = \vec{w} \times \vec{i_1}

\frac{d \vec{j_1}}{dt} = \vec{w} \times \vec{j_1}

La somma tra v_{O_1} + \vec{w} \times (P - O_1) si chiama velocità di trascinamento o \vec{v_{tr,P}} \implies \vec{v_P} = \vec{v_{tr,P}} + \vec{v_{rel,P}}.

Accelerazione

\vec{a_P} = \frac{d \vec{v_P}}{dt} = \frac{d}{dt} \vec{v_{O_1}} + \frac{d}{dt}(\vec{w} \times (P - O_1)) + \frac{d}{dt} \vec{v_{rel,P}}.

d(\vec{w} \times (P - O_1)) = \frac{d \vec{w_1}}{dt} \times (P - O_1) + \vec{w} \times \frac{d}{dt} (P - O_1) \implies \vec{\dot{w}} \times (P - O_1) + \vec{w} \times v_{rel,P} + \vec{w} \times [\vec{w} \times (P - O_1)]

\frac{d v_{rel,P}}{dt} = \ddot{x_{P,1}} \vec{i_1} + \ddot{y_{P,1}} \vec{j_1} + \dot{x_{P,1}} \frac{d \vec{i_1}}{dt} + \dot{y_{P,1}} \frac{d \vec{j_1}}{dt}\\ = \vec{a_{rel,P}} + \dot{x_{P,1}} \vec{w} \times \vec{i_1} + \dot{y_{P,1}} \vec{w} \times \vec{j_1}\\ = \vec{a_{rel,P}} + \vec{w} \times (\dot{x_{P,1}} \vec{i_1} + \dot{y_{P,1}} \vec{j_1}) = \vec{a_{rel,P}} + \vec{w} \times \vec{v_{rel,P}}

\vec{a_P} = \vec{a_{O_1}} + \dot{\vec{w}} \times (P - O_1) + \vec{w} \times [\vec{w} \times (P - O_1)] + 2 \vec{w} \times \vec{v_{rel,P}} + \vec{a_{rel,P}} \implies a^{(t)} + a^{(n)} + 2 \vec{w} \times \vec{v_{rel,P}} + \vec{a_{rel,P}}

Con a^{(t)} = accelerazione tangeziale e a^{(n)} = accelerazone normale.

Teorema di Coriolis

\vec{a_P} = \vec{a_{tr,P}} + \vec{a_{rel,P}} + \vec{a_{co}}

\vec{a_{co}} = Accelerazione di Coriolis

\vec{a_{co}} = 0 in certi casi:

  1. \vec{w} // \vec{v_{rel,P}} (impossibile nel piano)
  2. \vec{w} = 0
  3. \vec{v_{rel,P}} = 0

Capitolo Due: I sistemi meccanici

Sistema meccanico: insieme di corpi rigidi vincolati tra loro e vincolati a un corpo esterno fisso, chiamato telaio.

Grübler

Hp:

Calcolo gradi di libertà: n = n_0 - n_v = 3n_c - (1n_1 + 2n_2 +3n_3)

con n_c = numero di corpi rigidi, n_1 = numero vincoli singoli, n_2 = numero vincoli doppi e n_3 = numero vincoli tripli.

2.1 Esempi e definizioni

n_c = 2 \implies n = 3n_c = 6 gdl.

n_v = 2*2 = 4 \implies n = 3*2 - 4 = 2 gdl, \alpha, \beta

n_v = 2*2 + 1*1 = 5 \implies n = 6 - 5 = 1 gdl, \alpha \lor c

n_v = 2*3 = 6 \implies n = 6 - 6 = 0 gdl, n_v = n_0

n_v = 2*2 + 3*1 = 7 \implies n = 6 - 7 = 0gdl, n_v > n_0

Nomenclatura

Anche il meccanismo si può identificare in due sottoclassi:

Su una catena chiusa ho un equazione di chiusura, derivandola rispetto al tempo posso avere: posizione, velocità e accelerazione di ogni corpo.

2.2 Selective Compliance Assembly Robot Arm (SCARA)

2 gdl : \alpha, \beta \to \alpha (t), \beta (t)

(B - O) = (A - O) + (B - A)

N.B. Qui NON abbiamo alcuna equazone di chiusura perchè non ho corpi che chiudono il meccanismo.

Qui procederemo con la solita procedura per trovare posizione, velocità e accelerazione quindi se non si vuole rivedere tutta la procedura skippate direttamente ai capitoli desiderati e avrete la formula.

Intato guardiamo tutto con la forma più elegante e bella che sia mai stata inventata, la forma complessa: (B - O) = ae^{i\alpha} + be^{i(\alpha + \beta)}

Posizione

\begin{cases} x_B = a cos (\alpha) + b cos (\alpha + \beta)\\ y_B = a sin (\alpha) + b sin (\alpha + \beta) \end{cases}

Velocità

\vec{v_B} = a \dot{\alpha} e^{i (\alpha + \frac{\pi}{2})} + b (\dot{\alpha} + \dot{\beta})e^{i(\alpha + \beta \frac{\pi}{2})}

\begin{cases} \vec{v_{X,B}} = -a \dot{\alpha} sin(\alpha) - b (\dot{\alpha} + \dot{\beta}) sin (\alpha + \beta)\\ \vec{v_{Y,B}} = a \dot{\alpha} cos (\alpha) + b (\dot{\alpha} + \dot{\beta}) cos (\alpha + \beta) \end{cases}

Ora approccio differente, proviamo a derivare la velocità usando i moti relativi.

\vec{v_B} = \vec{v_{tr,B}} + \vec{v_{rel,B}}

Introduco un sistema di riferimento mobile in A, vedendolo come un moto circolatorio con velocità angolare \vec{w}.

Sapendo che nella terna traslante w_t = 0

\vec{v_{tr,B}} = \vec{v_A} + \cancel{\vec{w_t} \times (B - A)} \implies a \dot{\alpha} e^{i(\alpha + \frac{\pi}{2})}

\vec{v_{rel,B}} = \vec{w_{BA}} \times (B - A) \implies b(\dot{\alpha} + \dot{\beta}) e^{i(\alpha + \beta + \frac{\pi}{2})}

\vec{v_B} = a \dot{\alpha}e^{i(\alpha + \frac{\pi}{2})} + b(\dot{\alpha} + \dot{\beta}) e^{i(\alpha + \beta + \frac{\pi}{2})}

Accelerazione

\vec{a_B} = a \ddot{\alpha}e^{i(\alpha + \frac{\pi}{2})} - a \dot{\alpha^2} e^{i\alpha} + b(\ddot{\alpha} + \ddot{\beta})e^{i (\alpha + \beta + \frac{\pi}{2})} - b(\dot{\alpha} + \dot{\beta})^2 e^{i(\alpha + \beta)}

\begin{cases} \ddot{x_B} = -a\ddot{\alpha} sin (\alpha) - a \dot{\alpha^2} cos(\alpha) - b (\ddot{\alpha} + \ddot{\beta}) sin (\alpha + \beta) - b (\dot{\alpha} + \dot{\beta})^2 cos(\alpha + \beta)\\ \ddot{y_B} = a \ddot{\alpha} cos (\alpha) - a \dot{\alpha^2} sin (\alpha) + b (\ddot{\alpha} + \ddot{\beta}) cos (\alpha + \beta) - b (\dot{\alpha} + \dot{\beta})^2 sin (\alpha + \beta) \end{cases}

\vec{a_B} = \ddot{x_B} \vec{i} + \ddot{y_B} \vec{j}

Come prima abbiamo derivato la velocità anche con i moti relativi qui proveremo a ricavare l’accelerazione con il Teorema di Coriolis.

\vec{a_B} = \vec{a_{tr,B}} + \vec{a_{rel,B}} + \cancel{\vec{a_{co}}}

\vec{a_{co}} = 2 \vec{w_t} \times \vec{v_rel,B} = \vec{0} \implies \vec{w_t} = 0 \implies \dot{\vec{w_t}} = 0

\vec{a_{tr,B}} = \vec{a_A} + \cancel{\dot{\vec{w_t}} \times (B - A)} + \cancel{\vec{w_t} \times \vec{w_t} \times (B - A)} \implies \dot{\vec{w_{AO}}} \times (A - O) + \vec{w_{AO}} \times \vec{w_{AO}} \times (A - O)

\vec{a_{rel,B}} = \dot{\vec{w_{AB}}} \times (B - A) + \vec{w_{AB}} \times \vec{w_{AB}} \times (B - A)

\vec{a_B} = \vec{a_{tr,B}^{(t)}} + \vec{a_{tr,B}^{(n)}} + \vec{a_{rel,B}^{(t)}} + \vec{a_{rel,B}^{(n)}}

\vec{a_B} = a \ddot{\alpha}e^{i(\alpha + \frac{\pi}{2})} - a \dot{\alpha^2} e^{i\alpha} + b (\ddot{\alpha} + \ddot{\beta})e^{i(\alpha + \beta \frac{\pi}{2})} - b(\dot{\alpha} + \dot{\beta})^2 e^{i (\alpha + \beta)}

2.3 Manovellismo

n_c = 3

n_0 = 3*3 = 9

n_v = 4*2 = 8 \implies n = 1 gdl

Questo sistema meccanico può essere schematizzato anche come:

Manovellismo ordinario centrato

n_c = 2, n_0 = 6, n_v = 2*2 + 1 = 5 \implies n = 1 gdl

Si può notare che cambiamo il punto di vista del numero dei corpi e dei vincoli ma i gradi di libertà rimangono invariati.

Manovellismo ordinario deviato

In questo corso tratteremo principalmente “manovellismo ordinario centrato”.

Esempio

Consideriamo un manovellismo ordinario centrato.

Noti \alpha (t), \dot{\alpha} (t), \ddot{\alpha} (t)

Si vogliono cercare \vec{v_B}, \vec{a_B}, \dot{\beta}. \ddot{\beta}

Posizione

Per studiarne il movimento cercando i dati richiesti, guarderemo il sistema guardando i punti da lui raggiungibili, partiamo dal punto morto esterno (PME).

\alpha = 0, c = c_{MAX} = a + b, v_B = 0, |a_B| = |a_{MAX}|

Ora quando \alpha = \frac{\pi}{2}

Abbiamo che |v_B| \approx |v_{MAX}|

Questa apprissimazione è vera quanto più il rapporto caratteristico del manovellismo \lambda = \frac{a}{b} è più piccolo di 1.

\delta \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})

\beta = 2 \pi - \delta

Inoltre sappiamo che in questa figura cos(\beta) > 0 sempre.

Ora guardiamo quando ci troviamo nel punto morto interno(PMI)

c = c_{min} = b - a, v_B = 0, |a_B| = |a_{MAX}|

Questo grafico indica il cambiamento della posizione al variare dell’angolo \alpha

Velocità

“catena chiusa”

Si può dare anche una rappresentazione vettoriale della catena chiusa.

Una catena chiusa ha anche un equazione di chiusura: \vec{c} = \vec{a} + \vec{b}

Mettendo la vettorializzazione in un sistema di riferimento troviamo che l’equazione di chiusura è rappresentabile come: a e^{i \alpha} + be^{i \beta} = c e^{i\gamma} = c

Ora proiettiamo su x e y e ricaviamo il seguente sistema.

\begin{cases} x : a cos (\alpha) + b cos (\beta) = c\\ y : a sin (\alpha) + b sin (\beta) = 0 \end{cases}

sin (\beta) = - \frac{a}{b} sin (\alpha) = - \lambda sin (\alpha)

cos^2(\beta) + sin^2(\beta) = 1 \implies cos (\beta) = + \sqrt{1 - \lambda^2 sin^2 (\alpha)}

La radice dovrebbe avere + e - davanti ma essendo il coseno solo positivo il - non lo consideriamo.

cos (\beta) = + \sqrt{1 - \lambda^2 sin^2 (\alpha)}

c = a cos (\alpha) + b \sqrt{1 - \lambda^2 sin^2(\alpha)}, ma essendo \lambda<<1 lo approssimo a \lambda = 0, questo è impossibile fisicamente ma per i calcoli approssimiamo.

c \cong a cos (\alpha) + b \implies approssimazione del primo ordine

Per cercare la velocità derivo rispetto al tempo:

ia \dot{\alpha}e^{i\alpha} + i b \dot{\beta} e^{i\beta} = \dot{c}

\dot{\alpha} a e ^{i(\frac{\pi}{2} + \alpha)} + \dot{\beta} b e^{i(\frac{\pi}{2} + \beta)} = \dot{c}

con w_t = 0

\vec{v}_{tr,B} + \vec{v}_{rel,B} = \vec{v}_B

Proietto su x e y e dopo metto tutto in forma matriciale.

\begin{cases} x : -a\dot{\alpha} sin (\alpha) - b \dot{\beta} sin (\beta) = \dot{c}\\ y: a \dot{\alpha} cos(\alpha) + b \dot{\beta} cos (\beta) = 0 \end{cases}

\begin{bmatrix} 1 & b sin(\beta)\\ 0 & -b cos(\beta) \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \dot{c}\\ \dot{\beta} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} -a \dot{\alpha} sin (\alpha)\\ a \dot{\alpha} cos (\alpha) \end{Bmatrix}

[A] \underline{X} = \underline{Y} \implies \underline{X} = [A]^{-1} \underline{Y}

\dot{\beta} = - \frac{a \dot{\alpha} cos (\alpha)}{b cos (\beta)}

[A]^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & tan (\beta)\\ 0 & - \frac{1}{b cos (\beta)} \end{bmatrix}

Otteniamo quindi che:

\dot{c} = -a \dot{\alpha} sin (\alpha) + a \dot{\alpha} cos (\alpha) tan (\beta)

A questo punto introduciamo lo Jacobiano \curlywedge_B = \frac{v_B}{\dot{\alpha}} = \frac{\dot{c}}{\dot{\alpha}} = \frac{d c}{\cancel{dt}} * \frac{\cancel{dt}}{d \alpha} = \frac{dc}{d \alpha}

\curlywedge_B = - a(sin (\alpha) - cos (\alpha) tan(\beta)) = \curlywedge_B (\alpha)

v_B = \curlywedge w = \frac{dc}{d \alpha} w

Accelerazione

a \ddot{\alpha} e^{i (\alpha + \frac{\pi}{2})} - a \dot{\alpha^2} e^{i\alpha} + b \ddot{\beta} e^{i(\beta + \frac{\pi}{2})} - b \dot{\beta^2} e^{i\beta} = \ddot{c}

\vec{a}_{co} = 2 \vec{w}_t \times \vec{v}_{rel,B} = \vec{0}

Questo perchè \vec{w}_t = \vec{0}

\begin{cases} -a \ddot{\alpha} sin (\alpha) - a \dot{\alpha^2} cos (\alpha) - b \ddot{\beta} sin (\beta) - b \dot{\beta^2} cos (\beta) = \ddot{c}\\ -a \ddot{\alpha} cos (\alpha) - a \dot{\alpha^2} sin (\alpha) + b \ddot{\beta} cos (\beta) - b \dot{\beta^2} sin (\beta) = 0 \end{cases}

\begin{bmatrix} 1 & b sin(\beta)\\ 0 & -b cos(\beta) \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \ddot{c}\\ \ddot{\beta} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} -a \ddot{\alpha} sin (\alpha) - a \dot{\alpha^2} cos (\alpha) - b \ddot{\beta} sin (\beta) - b \dot{\beta^2} cos (\beta)\\ -a \ddot{\alpha} cos (\alpha) - a \dot{\alpha^2} sin (\alpha) + b \ddot{\beta} cos (\beta) - b \dot{\beta^2} sin (\beta) \end{Bmatrix}

v_B = \curlywedge (\alpha) \dot{\alpha}

a_B = \frac{d \curlywedge (\alpha)}{dt} \dot{\alpha} + \curlywedge(\alpha) \ddot{\alpha} = \frac{d}{dt}(\frac{dc}{d\alpha}) \dot{\alpha} + \frac{dc}{d\alpha} \ddot{\alpha} = \frac{d^2 c}{d\alpha^2} \dot{\alpha^2} + \frac{dc}{d\alpha} \ddot{\alpha}

Capitolo Tre: Statica

In questo capitolo studieremo la statica del punto e del corpo, e i metodi per capirne l’equilibrio.

“Figure di presentzione statica”

3.1 Statica del punto materiale

Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio statico del punto materiale: \vec{R} = \vec{0}, La condizione NeS affinchè un punto materiale si dica in equilibrio è che la risultate delle forse attive e reattive, \vec{R}, che agiscono sul corpo sia nulla, \implies \Sigma_{i=1}^n \vec{F}_i = \vec{0}

Esempio

Avendo noto che la forza F applicata a P sia: F = \frac{\sqrt{3}}{3} mg e che il corpo è in equilibrio determiniamo l’angolo \theta.

Studiando le forze nel dettaglio notiamo che:

Impostiamo quindi le condizioni di equilibrio.

\begin{cases} R_x = 0\\ R_y = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} F - T sin (\theta) = 0\\ T cos (\theta) - mg = 0 \end{cases}

tan (\theta) = \frac{F}{mg} = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies \theta = 30°

T = \frac{F}{sin (\theta)} = 2F

3.2 Statica del corpo rigido

Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio statico del corpo rigido: La codizione NeS affinchè un corpo rigido si possa definire in equilibrio è che:

  1. La risultate delle forze attive e reattive, \vec{R}, si annulli. \vec{R} = 0 \implies \Sigma_{i = 1}^n \vec{F}_i = \vec{0}
  2. La risultate dei momenti di tutte le forze, \vec{M}_O, si annulli su in generico polo O. \vec{M}_O = \vec{0} \implies \Sigma_{i = 1}^n (P_i - O) \times \vec{F}_i + \Sigma_{j = 1}^m \vec{C}_j = \vec{0}.

Con \Sigma_{i = 1}^n (P_i - O) \times \vec{F}_i che indica il momento di F_i e \Sigma_{j = 1}^m \vec{C}_j che indica le coppie.

Momento

\vec{M}_O = (P - O) \times \vec{F} = F \overline{PO} sin (\theta) \vec{k} = F \overline{OH} \vec{k} = F b \vec{k}

con b che indica il braccio ovvero la distanza dal polo O.

\vec{M}_O = (x_P \vec{i} + y_P \vec{j}) \times (F_x \vec{i} + F_y \vec{j}) = x_P F_y \vec{k} - F_x y_P \vec{k} = (F_y x_P - F_x y_P)\vec{k}

Coppia

Si idicano come coppie quel “sistema” che ha:

  1. \vec{F}_1 // \vec{F}_2
  2. |\vec{F}_1| = |\vec{F}_2| = F
  3. \vec{F}_1 = -\vec{F}_2
  4. P_1 \not ={P_2}

\vec{C} = F d \vec{k}

\vec{M}_O = (P_1 - O) \times \vec{F}_1 + (P_2 - O) \times \vec{F}_2 = (P_1 - O) \times \vec{F}_1 - (P_2 - O) \times \vec{F}_1 = [(P_1 - O) - (P_2 - O)] \times \vec{F}_1 = (P_1 - P_2) \times \vec{F}_1 \implies F d \vec{k}

3.3 Forze interne

Forze che vengono analizzate unicamente quando si va ad osservare il singolo corpo e non compaiono quando si analizza il sistema nel suo intero

Biella

  1. Cerniere agli estremi
  2. No forze/momenti concentrati

Azioni interne nelle travi

Trave snella: una delle dimensioni è prevalente.

Rompo la trave e vedo il vincolo d’incastro

Capitolo Quattro: Centro di Massa

Baricentro

\begin{cases} x_G = \frac{1}{m}\Sigma_i x_i m_i\\ y_G = \frac{1}{m} \Sigma_i y_i m_i \end{cases}

m = \Sigma_i m_i

G è il centro delle forze peso

\vec{M}_Q = \Sigma_i (P_i - Q) \times \vec{F}_P{_i} = 0

\vec{M}_Q = -\Sigma_i (x_i - x_Q)m_i g \vec{k} = 0

\Sigma (x_i - x_Q) m_i \cancel{g} = 0

\Sigma x_i m_i = \Sigma_i x_Q m_i = x_Q \Sigma m_i = x_Q m

x_Q = \frac{\Sigma x_i m_i}{m} = x_G

\begin{cases} x_G = \frac{1}{m} \int_m x dm\\ y_G = \frac{1}{m} \int_m y dm \end{cases}

dm = \rho (x,y,z) dV

\rho [\frac{kg}{m^3}] = densità di massa.

x_G = \frac{1}{m} \int_V \rho x dV = \frac{\delta y}{m}

y_G = \frac{1}{m} \int_V \rho y dV = \frac{\delta x}{m}

\begin{cases} x_G = \frac{1}{m} \int_A \rho x h dA = \frac{\rho R}{\rho R A} \int_A xdA = \frac{1}{A} \int_A xdA\\ y_G = \frac{1}{A} \int_A ydA \end{cases}

4.1 Momento d’inerzia

J_a = md^2 = S_a^{II} : Momento statico del II ordine o momento d’inerzia.

J_a = \Sigma_i m_i d_i^2

J_{ZO} = J_O = \int_m d^2 dm = \int_V \rho d^2 dV

J_O = \int_V \rho (x^2 + y^2) dV

Omogeneo, spessore costante, dV = hdA

J_O = \rho h \int_A (x^2 + y^2) dA

Teorema del trasporto o “teorema di Huygens” : J_O = J_G + m \overline{OG}^2

J_O = \int_V \rho (x^2 + y^2) dV = \int_V \rho [(x_G + x_1)^2 + (y_G + y_1)^2]dV

= \int_V \rho (x_G^2 + y_G^2) dV + \int_V (x_1^2 + y_1^2) dV + 2 \int_V x_1 x_G dV + 2 \int_V y_1 y_G dV

Notiamo che:

\int_V \rho (x_G^2 + y_G^2) dV = (x_G^2 + y_G^2) \int_V \rho dV = m \overline{OG}^2

e

2x_G \int_V x_1 \rho dV = 0

ne deduciamo che:

= J_G + m \overline{OG}^2

Esempio

Trave

$ J_G = h A (x^2 + y^2) dA\ = h {- }^{} {-}^{} (x^2 + y^2) dx dy\ =h {-}^{} x^2 dx {-}^{} dy + h {- }^{} y^2 dy {-}^{} dx\ =h a []{-}^{} + h b[]_{-}^{}\ = h a ( + ) + h b ( + )\ = h a b () = (a^2 + b^2) [kg m^3] $

Nel caso di trave snella b >> a \implies J_G = \frac{m}{12}b^2

Introduciamo il raggio giratorio d’inerzia r_G = \frac{b}{\sqrt{12}}

da qui capiamo che J_G = m r_G^2

Corona

Sapendo che: - A = \pi (R_e^2 - R_i^2) - V = Ah - m=\rho V

Proviamo a trovare il momento d’inerzia della corona applicando la definizione:

$ J_G = h A (x^2 + y^2) dA = h A r^2 dA = h 0^{2} {R_i}^{R_e} r^3 dr d\ = 2h {R_i}^{R_e} r^3 dr = 2 h []{R_i}^{R_e}\ = 2 h = (R_e^2 - R_i2)(R_e2 + R_i^2)\ = (R_e^2 + R_i^2) $

Anello

Da qui daremo solo la formula del momento di inerzia:

R_e = R_i = R

J_G = m R^2

r_G = R

Disco

R_i = 0

R_e = R

J_G = \frac{m R^2}{2}

r_G = \frac{\sqrt{2}}{2} R \cong 0,7 R

4.2 Principio D’Alambert

Equilibrio dinamico:

Approccio energetico:

Punto

Preso un punto in figura e applicate le forse che si vedono per Newton sappiamo che:

\Sigma_i \vec{F}_i = m \vec{a} \to \Sigma_i \vec{F}_i - m \vec{a} = 0

Si introduce la forza d’inerzia \vec{F}_{in} = -m \vec{a}

indica la resistenza del corpo a muoversi, quindi quanta forza deve applicare a m per farlo andare a un accelerazione a.

\Sigma_i \vec{F}_i + \vec{F}_{in} = \vec{0}

con:

come si agisce ?

Corpo rigido

\begin{cases} \vec{R} = \vec{0}\\ \vec{M}_o = \vec{0} \end{cases}

Forze, coppie, attive e reattive.

Condizioni di equilibrio dinamico

\begin{cases} \vec{R} = \vec{0}\\ \vec{M}_o = \vec{0} \end{cases}

Forze, coppie, attive, reattive e inerzia.

\begin{cases} \Sigma_i \vec{F}_i + \vec{F}_{in} = \vec{0}\\ \Sigma_i (P_i - O) \land \vec{F}_i + \Sigma_k C_k + (G - O) \land \vec{F}_{in} + \vec{C}_{in} = 0 \end{cases}

Calcoliamo F_{in} e C_{in} per il corpo rigido:

Corpo rigido costituito da infiniti punti, per ogni punto P infitesimale, ho una F_{in} uguale all’accelerazione a_P per la massa infinitesimale dm.

d \vec{F}_{in} = - \vec{a_P} dm = - \vec{a_P} \rho dV

d\vec{C}_{in} = - (P - G) \land \rho \vec{a_P} dV

Forza di inerzia

Rivals = \vec{a_P} = \vec{a_G} + \vec{\dot{w}} \land (P - G) + \vec{w} \land \vec{w} \land (P - G)

=\vec{a_G} + a_{PG}^{(t)} + a_{PG}^{(n)}

\vec{F}_{in} = - \int_V{\rho \vec{a_P} dV} = - \int_V{\rho \vec{a_G} dV} - \int_V{\dot{\vec{w}} \land (P - G) \rho dV} - \int_V{\vec{w} \land \vec{w} \land (P - G) \rho dV}

= - \vec{a_G} \int_V{\rho dV} - \cancel{\vec{\dot{w}} \land \int_V{(P - G) \rho dV}} - \cancel{\vec{w} \land \vec{w} \land \int_V{(P - G) \rho dV}}

Coppia

(P - G) \land \vec{a_P} = (P - G) \land \vec{a_G} + (P - G) \land \vec{\dot{w}} \land (P - G) + \cancel{(P - G) \land \vec{w} \land \vec{w} \land (P - G)}

= (P - G) \land \vec{a_G} + \dot{\vec{w}} \overline{PG^2}

\vec{C}_{in} = - \cancel{[\int_V{(P - G) \rho dV}]} \land \vec{a_G} + \dot{\vec{w}} \int_V{\overline{PG^2} \rho dV} = - J_G \dot{\vec{w}}

|C_{in}| = J_G |\vec{\dot{w}}|

Condizioni equilibrio dinamico

\begin{cases} \Sigma_i \vec{F}_i - m \vec{a_G} = \vec{0}\\ \Sigma_i(P - O) \land \vec{F}_i + \Sigma_k C_k - (G - O) \land m \vec{a_G} - J_G \vec{\dot{w}} = \vec{0} \end{cases}

Esempio

“Trave snella”

Dati:

Incognite:

1 gdl : \alpha

“Studio delle forze”

\begin{cases} R_x = 0 \implies H_o - m \ddot{\alpha} \frac{l}{2} cos(\alpha) + m \dot{\alpha^2} \frac{l}{2} sin(\alpha) = 0\\ R_y = 0 \implies V_o - mg - m\dot{\alpha^2} \frac{l}{2} cos(\alpha) - m \ddot{\alpha} \frac{l}{2} sin(\alpha) = 0\\ \vec{M_o} = 0 \implies M - J_G \ddot{\alpha} - mg \frac{l}{2} sin(\alpha) - m \ddot{\alpha} \frac{l^2}{4} = 0 \end{cases}

M = \ddot{\alpha} (J_G + m \frac{l^2}{4}) + m g \frac{l}{2} sin(\alpha) = 16,7 Nm

H_o = m (\ddot{\alpha} \frac{l}{2} cos(\alpha) - \dot{\alpha^2} \frac{l}{2} sin(\alpha)) = -10,9 N

V_o = m (g + \dot{\alpha^2} \frac{l}{2} cos(\alpha) + \ddot{\alpha} \frac{l}{2} sin(\alpha)) = 83,7N

### Sistema corpi rigidi

\begin{cases} \vec{R_J} = \vec{0} \implies \Sigma_i \vec{F}_{i,J} + \vec{F}_{in,J} = 0\\ \vec{M}_{O,J} = \vec{0} \implies \Sigma_i (P_i - O) \land \vec{F}_{i,J} + \Sigma_k \vec{C}_{k,J} + (G_J - O) \land \vec{F}_{in,J} + \vec{C}_{in,J} = 0 \end{cases}

Capitolo Cinque: Bilancio di Potenze

Ipotesi:

“Vincolo”

Teorema dell’energia cinetica

W = 0

W_{att} + W_{in} = 0 \forall t

W = \vec{F} \times \vec{v_P}

W = F v_P cos(\theta)

W = \vec{C} \times \vec{w} = \plusmn Cw

\Sigma_i <\vec{F}_i, \vec{v}_{Pi}> + \Sigma_{j=1}^{n_c} (<\vec{F}_{m,J}, \vec{v}_{G,J}> + <\vec{C}_{m,J}, \vec{w}_J>) = 0

con:

\vec{F}_{in} = - m \vec{a}_G

\vec{C}_{in} = -J_G \vec{\dot{w}}

W_{att} - \Sigma_{j=1}^{n_c} (<\vec{F}_{m,J}, \vec{v}_{G,J}> + <\vec{C}_{m,J}, \vec{w}_J>) = 0

Si sa che:

W_{in} = - \frac{dE_c}{dt} \implies W_{att} - \frac{dE_c}{dt} = 0

Teorema energia cinetica: W_{att} = \frac{dE_c}{dt}

E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \vec{v} \vec{v}

E_c = \int_m{\frac{1}{2} \vec{v_P} \vec{v_P} dm} = \int_V{\frac{1}{2} \vec{v_P} \vec{v_P} \rho dV}

Rivals: \vec{v_P} = \vec{v_G} + \vec{w} \land (P - G)

E_c = \frac{1}{2} \int_V{\vec{v_G} \vec{v_G} \rho dV} + \frac{1}{2} \int_V{\vec{v_G} [\vec{w} \land (P - G)] \rho dV} + \frac{1}{2} \int_V{[\vec{w} \land (P - G)] \vec{v_G} \rho dV} + \frac{1}{2} \int_V{w^2 \overline{PG}^2 \rho dV}

5.1 Coulomb attrito statico

Questo è sostanzialmente un ripasso di fisica quindi non ci perdiamo troppo tempo.

T \leq T_{lim} = f_s N

\begin{cases} T_1 = T = F\\ N_1 = N = P \end{cases}

5.2 Attrito dinamico

\begin{cases} \vec{T}_1 = - \vec{T}_2\\ \vec{N}_1 = - \vec{N}_2 \end{cases}

\begin{cases} |\vec{T}_1| = |\vec{T}_2| = T\\ |\vec{N}_1| = |\vec{N}_2| = N \end{cases}

Nel caso dell’attrito noi sappiamo che se rispetta Coulomb allora l’attrito è statico altrimenti è dinamico, dunque \implies T \leq T_{lim} = f_s N :

Con Coulomb \implies |\vec{T}_1| = T = f_d N

da fisica sappiamo che:

f_d < f_s

Esempio:

\vec{T}_1 = -f_d N \frac{\vec{v}_{12}}{|\vec{v}_{12}|}

\vec{T}_2 = -f_d N \frac{\vec{v}_{21}}{|\vec{v}_{21}|} = f_d N \frac{\vec{v}_{12}}{|\vec{v}_{12}|}

FATAL ERROR: Orientare ben l’attrito

Nel modello teorico di Coulomb la transizione da f_s a f_d è istantanea, nella realtà non è così, ma la velocità di transizione è talmente alta che possiamo fare questa assunzione.

“Grafico di transizione”

Potenza attrito dinamico

P = <\vec{T}_1, \vec{v}_1> + <\vec{T}_2, \vec{v}_2> + \cancel{<\vec{N}_1, \vec{v}_1>} + \cancel{<\vec{N}_2, \vec{v}_2>}

= <\vec{T}_1, (\vec{v}_1 - \vec{v}_2)> = <- f_d N \frac{\vec{v}_{12}}{|\vec{v}_{12}|}, \vec{v}_{12}> = -f_d N |\vec{v}_{12}| = P_d < 0

Si sa che la potenza dell’attrito dinamico è SEMPRE negativa.

L’attrito dissipa sempre, in attrito statico non dissipa e produce nulla.

FATAL ERROR: L’attrito dinamico dissipa sempre potenza, P_d < 0

FATAL ERROR: L’attrito statico ha P_s = 0

5.3 Resistenza al rotolamento

Ipotesi:

\vec{v}_c = \vec{0} \implies c \equiv CIR \implies 1gdl: \theta (o\ x) \implies v = Rw

\implies attrito statico \implies T \leq T_{lim} = f_s N

P = P_d = \cancel{<\vec{T}, \vec{v}_c>} + \cancel{<\vec{N}, \vec{v}_c>} = 0

Ma cosa accade nella realtà ? Vediamo meglio:

Quando si è in statica si crea una deformazione che crea un area di contatto, simmetrica.

Ora vediamo cosa succede quando il corpo cerca di muoversi.

Quando il corpo si muove la simmetria si sposta.

Questo disassamento crea una forza chiamata, Forza di resistenza al rotolamento.

P = P_d = \cancel{<\vec{T}, \vec{v}_c>} + \cancel{<\vec{N}, \vec{v}_c>} + <\vec{C}_r, \vec{w}> = -C_r w = - N u w < 0 sempre.

Sempre puro rotolamento ma più realistico, il corpo rigido ha la reazione vincolare disallineata rispetto a c di u.

Anche nel caso di resistenza al rotolamento viene dato un coefficiente di attrito, chiamato coefficiente di attrito volvente: f_v = \frac{u}{R}

N.B. l’attrito volvente NON esiste, è sempre attrito statico.

f_v \cong 0,01 pneumatico - strada.

f_v \cong 0,001 acciaio - acciaio.

f_v dipende dalla deformabilità del corpo.

Ipotesi:

T \leq T_{lim} = f_s N:

C \equiv CIR

v = wR

P_d = <\vec{C}_r, \vec{w}>

Attrito statico

v_c \not ={0}

T = - f_d N \frac{\vec{v}_c}{|\vec{v}_c|}

P_d = <\vec{T}, \vec{v}_c> \not ={0} (<0)

L’attrito volvente è talmente piccolo da essere trascurabile.

Esempio

\begin{cases} v = wR\\ a = \dot{w}R \end{cases}

\begin{cases} T = ma\\ N = P + mg\\ C_m - C_R - J \dot{w} - maR = 0 \end{cases}

(J + mR^2) \dot{w} = C_m - C_r = C_m - Nu

T \leq T_{lim} = f_s N

ma \leq f_s (P + mg)

T = - f_d N \frac{\vec{v}_c}{|\vec{v}_c|}

2gdl: w, v

Punto della situzione:

Ad ora sapevamo che:

Lavoravamo con vincoli fissi, perfetti e bilateri.

BdP: P_{att} + P_{in} = 0

Teorema E_c: P_{att} = \frac{dE_c}{dt}

Ma con l’attrito non abbiamo più la perfezione dei vincoli, quindi:

Con vincoli fissi e bilateri.

BdP: P_{att} + P_d + P_{in} = 0 \forall t

Teorema E_c: P_{att} + P_d = \frac{dE_c}{dt} \forall t

FATAL ERROR: T = f_v N

FATAL ERROR: T \leq f_v N

FATAL ERROR: T = f_d N v

FATAL ERROR: T = f_d N v_{12}

Capitolo Sei: La Macchina

Definizione

Sistema meccanico che preleva energia per compiere un lavoro utile.

Macchina (MTU) composta da:

Noi studiamo macchine a 1\ gdl : w_m = \frac{d \theta_m}{dt} \implies velocità angolare del motore.

Jacobiamo: \mathbb{J} = \frac{v}{w_m}

Teorema E_c : \Sigma P = \frac{dE_c}{dt}

Nelle macchine MTU a 1\ gdl è meglio non fare la sommatoria unica ma far vedere il contributo di ogni componente:

P_m + P_u + P_p = \frac{d}{dt}(E_{c_m} + E_{c_u} + E_{c_T})

P_m + P_u + P_p = \frac{d}{dt}(E_{c_m} + E_{c_u})

6.1 Motore

Noi studieremo 3 motori:

C_m : coppia ridotta all’albero motore.

P_m = \vec{C}_m \times \vec{w}_m = \Sigma_i \vec{F}_i \times \vec{v}_i + \Sigma_j \vec{C}_j \times \vec{w}_j = (\Sigma_i \vec{F}_i \mathbb{J}_{v_i} + \Sigma_j \vec{C}_j \mathbb{J}_{w_j}) \times \vec{w}_m

\vec{v} = \mathbb{J}_{v_i} \vec{w}_m

\vec{w} = \mathbb{J}_{w_j} \vec{w}_m

Volàno equivalente J_m

E_{c_m} = \frac{1}{2} J_m w_m^2 = \frac{1}{2} \Sigma_{i = 1}^{n_c} (m_i v_{G_i}^2 + J_{G_i} w_i^2)

= \frac{1}{2} \Sigma_{i = 1}^{n_c} (m_i \mathbb{J}_{v_{G_i}}^2 + J_{G_i} \mathbb{J}_{w_i}^2) w_m^2

\begin{cases} C_m = C_m (w_m): \text{funzione in funzione di}\ w_m\\ J_m = \text{cost} \end{cases}

questo di solito, in altri casi si può trovare

\begin{cases} C_m = C_m (w_m, \theta_m)\\ J_m = J_m (\theta_m) \end{cases}

questa si chiama macchina a regime periodico (es. macchina a combustione).

\dot{c} = \mathbb{J} (\theta_m) w_m: velocità pistone.

Trascuriamo sempre \theta_m, ma consideriamo sola la curva caratteristica del motore.

6.2 Curva caratteristica del motore

Legame che mette in relazione C_m con w_m, in condizioni di regime.

Condizioni di regime:

Motore a combustione interna

w_{min} = il motore si ferma sotto w_{min}.

w_{max} = il motore va fuorigiri sopra w_{max}.

C_m (\overline{w_m}) = \gamma C_{max} (\overline{w_m}) + (1 - \gamma) C_{min} (\overline{w_m})

Motore a corrente continua

\begin{cases} V_a = R_a i_a + e \ \text{Kirchoff}\\ e = k_\phi w_m\ \text{Faraday}\\ C_m = k_\phi i_a \ \text{Lorenz} \end{cases}

i_a = \frac{V_a - k_\phi w_m}{R_a}

C_m = \frac{k_\phi V_a - k_\phi^2 w_m}{R_a}

Motore a corrente alternata

6.3 Utilizzatore

P_u = \vec{C}_u \times \vec{w}_u

E_{c_u} = \frac{1}{2} J_u w_u^2

Come per il motere si ha che: C_u = C_u (w_u)

Sollevatore

Compressore

Compressore e Sollevatore

Al momento quello che abbiamo è uno schema della macchina MTU incompleta in cui M e U sono schematizzati come alberi con un Volàno con J_u e J_m.

“Schema macchina MTU incompleto”

6.4 Trasmissione

Cinematica

\tau = \frac{w_u}{w_m} = rapporto di trasmissione.

Il \tau può avere due comportamenti:

Dinamica

Con il BdP: P_1 + P_2 + P_p = \frac{dE_c}{dt} = 0

Si possono vedere due comportamenti differenti a seconda del moto:

  1. P_1 > 0, P_2 < 0, P_p < 0: Moto diretto.
  2. P_1 < 0, P_2 > 0, P_p < 0: Moto retrogrado.

\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}}: rendimento

Moto diretto

P_1 = -(P_2 + P_p)

\eta_d = \frac{|P_2|}{P_1} = - \frac{P_2}{P_1}

0 < \eta_d < 1 sempre

P_2 = -\eta_d P_1

P_p = - P_1 - P_2 = - (1 - \eta_d) P_1

Moto retrogrado

P_2 = - (P_1 + P_p)

\eta_d = - \frac{P_1}{P_2} = \frac{|P_1|}{P_2}

0 < \eta_R < 1 sempre

\eta_R < \eta_d

P_p = - (P_1 + P_2) = - (1 - \eta_R) P_2 \implies retrogrado.

P_p = - (1 - \eta_d) P_1 \implies diretto.

Condizioni moto diretto

P_1 > 0\ \lor \ P_2 < 0

Condizioni moto retrogrado

P_2 > 0\ \lor \ P_1 < 0

Importante P_1 \not ={P_m} e P_2 \not ={P_u}

6.5 The End

P_m - P_1 = \frac{dE_{c_m}}{dt} \to \frac{dE_{c_m}}{dw_m} \frac{dw_m}{dt}

E_{c_m} = \frac{1}{2} J_m w_m^2

C_m w_m - P_1 = J_m w_m \dot{w}_m

P_1 = (C_m - J_m \dot{w}_m)w_m

Ora per gestire questi casi abbiamo 2 modi, uno veloce e uno potenzialmente triste:

  1. \dot{w}_m noto \implies conosco dunque P_1:

    • P_1 > 0 moto diretto
    • P_1 < 0 moto retrogrado

  2. \dot{w}_m non noto, dunque si fanno ipotesi, ipotizzo moto diretto

P_p = - (1 - \eta_d) P_1

P_p + P_u + P_m = \frac{d}{dt} (E_{c_m} + E_{c_u})

\dot{w}_m

P_1 = (C_m - J_m \dot{w}_m) w_m \implies speriamo sia giusto.

P_m + P_u + P_p = \frac{d}{dt} (E_{c_m} + E_{c_u})

\dot{w}_m ? Ipotizzo moto diretto

P_m = C_m w_m

\tau = \frac{w_u}{w_m}

P_u = - C_u w_u \implies P_u = - C_u \tau w_m

E_{c_u} = \frac{1}{2} J_u w_u^2 = \frac{1}{2} J \tau^2 w_m^2

P_p = (1 - \eta_d) P_1 = (1 - \eta_d) (C_m - J_m \dot{w}_m) w_m

BdP: C_m w_m - \tau C_u w_m - (1 - \eta_d) (C_m - J_m \dot{w}_m) w_m = J_m w_m \dot{w}_m + J_u \tau^2 w_m \dot{w_m} semplifico w_m

C_m - \tau C_u - (1 - \eta_d) (C_m - J_m \dot{w}_m) = J_m \dot{w}_m + J_u \tau^2 \dot{w}_m

\dot{w}_m = \frac{\eta_d C_m - \tau C_u}{\eta_d J_m + \tau^2 J_u}

Verifichiamo

P_1 = (C_m - J_m \dot{w}_m)w_m

P_1 > 0 giusto, moto diretto.

P_1 < 0 sbagliato, moto retrogrado, si piange e si ricalcola \dot{w}_m

P_p = - (1 - \eta_R) P_2

Condizioni di moto vario o transitorio

Condizioni regime assoluto

\eta_d C_m (\overline{w_m}) = \tau C_u (\overline{w_m})

Esempio

Condizioni regime periodico

Trasmissioni concatenate

Ipotesi moto diretto

no coppie, no inerzie su albero i.

\tau_1 = \frac{w_1}{w_1}\ \tau_2 = \frac{w_2}{w_i}

\tau = \frac{w_2}{w_1} = \tau_1 \tau_2 = \frac{\cancel{w_i}}{w_1} \frac{w_2}{\cancel{w_i}}

\tau = \tau_1 \tau_2

\eta_1 = \frac{|P_i|}{P_1} \ \eta_2 = \frac{|P_2|}{|P_i|}

\eta = \frac{|P_2|}{P_1} = \eta_1 \eta_2 = \frac{\cancel{|P_i|}}{P_1} \frac{|P_2|}{\cancel{|P_i|}} \implies \frac{|P_2|}{P_1}

\eta = \eta_1 \eta_2

Con questo si conclude questo corso, spero vi sia piaciuto.

Se trovate errori è presente il pulsante per segnalare tutto, bye bye.

Capitolo Fatal Error

Capitolo in cui si raggruppano tutti i Fatal Error del corso, errori che possono comportare la bocciatura.

Ultima modifica:
Scritto da: Niccolò Papini