Introduzione
Salve lettori, questa pagina è stata creata per riassumere o ampliare gli appunti che prendiamo a lezione, questi appunti possono servire per capire meglio l’argomento e non possono essere capiti completamente se non si seguono le lezioni. Se trovate errori o parti poco chiare vi prego di segnalarlo così provederemo a corregere. Buona lettura -NP
Capitolo Uno: Cinematica
1.1 Cinematica del punto materiale
Nella cinematica del punto la cosa fondamentale da fare è:
- Fissare un punto di riferimento.
- Settare un numero di coordinate minimo per descrivere il movimento
\begin{cases} y = f(x) \text{traiettoria} \\ s = s(t) \text{legge oraria} \end{cases}
L’ascissa curvilinea descrive lo spostamento nel tempo, o la \color{red}{legge \ oraria}
Altra Rappresentazione
Velocità
\vec{v} = lim_{\Delta \to 0} \frac{\Delta \vec{P}}{\Delta t} = lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{P}(t + \Delta t) - \vec{P}(t)}{\Delta t} = \frac{d \vec{P} (s(t))}{dt} = \frac{d \vec{P}}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = \dot{s} \frac{d \vec{P}}{ds} = \dot{s} \vec{t}
N.B. Con \vec{t} si intende la “tangente”, nelle immagini si può trovare anche in versione t corsico con il simbolo di vettore sopra.
lim_{\Delta t \to 0 (\Delta s \to 0)} |\frac{d\vec{P}}{ds}| = 1
Fatal Error
La velocità è SEMPRE tangente alla traiettoria.
Dimostriamo questa cosa:
Ricordando che i = e^{i \frac{\pi}{2}} in forma esponenziale.
\vec{v} = \dot{\varrho} e^{i \theta} + \varrho i \dot{\theta} e^{i \theta} = \dot{\varrho} e^{i\theta} + \varrho \dot{\theta}e^{i(\theta + \frac{\pi}{2})}
v_x = \dot{x}
v_y = \dot{y}
\alpha = arctan (\frac{\dot{x}}{\dot{y}})
\vec{v} = v e^{i\alpha}
v = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}
y = f(x)
tan \alpha = \frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{dy}{dx} = f'(x)
Accelerazione
\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(\dot{s} \frac{d \vec{P}}{ds}) = \ddot{s} \frac{d\vec{P}}{ds} + \dot{s} \frac{d}{dt}(\frac{d \vec{P}}{ds}) = \ddot{s}\vec{t} + \dot{s}^2 \frac{d^2\vec{P}}{ds^2} = \ddot{s}\vec{t} + \dot{s}^2\frac{\vec{n}}{\varrho}, dove \vec{n} = versore da P al centro del cerchio osculatore e \varrho = raggio osculatore.
Il cerchio osculatore condivide con la traiettoria 3 punti:
- P.
- \vec{t}(\frac{d\vec{P}}{ds}).
- c = \frac{1}{\varrho} con c che indica la curvatura.
Dimostriamo che \frac{d^2\vec{P}}{ds^2} = \frac{\vec{n}}{\varrho}
\frac{d^2\vec{P}}{ds^2} = \frac{d}{ds}\frac{d\vec{P}}{ds} = \frac{d\vec{t}}{ds} = lim_{\Delta s \to 0} \frac{\Delta \vec{t}}{\Delta s} = lim_{\Delta s \to 0} \frac{\vec{t'} - \vec{t}}{\Delta s} = \frac{d \alpha}{\varrho d \alpha} \vec{n} = \frac{\vec{n}}{\varrho}
|d\vec{t}| = |\vec{t}| d\alpha = d\alpha
Quindi l’accelerazione è la somma di una componente tangenziale a_t e una normale a_n.
\vec{a} = a_t \vec{t} + a_n \vec{n}
oppure è dcrivibile come:
\vec{a} = \ddot{s} \vec{t} + \dot{s^2} \frac{\vec{n}}{\varrho} = \dot{v} + \frac{v^2}{\varrho}
Fatal Error
L’accelerazione è SEMPRE composta da \vec{a} = a_t \vec{t} + a_n \vec{n} quindi da accelerazione tangenziale e normale, solo in certi casi una delle due componenti si annulla.
Gli unici due casi sono:
- Rettilineo
\varrho = \infty \implies a_n = 0
- Uniforme
v = \text{cost} \implies \dot{v} = 0 \implies a_t = 0
1.2 Cinematica del corpo
Credo a sto punto sia ben chiaro che la prima parte di questa materia sarà sostanzialmente un ripasso di Fisica 1, introduciamo quindi un termine che potrebbe essere nuovo, l’Atto di Moto.
Atto di Moto: Valori della velocità che costituiscono un corpo in moto in un determinato istante di tempo.
Spostamento Rigido
Uno spostamento si definisce rigido se posso trovare un nuovo sistema di riferimento da cui la posizione è la medesima rispetto a prima dello spostamento con il vecchio sistema di rifornimento, e senza che il corpo in se muti (si rompa, si riduca, si allarghi, esploda, etc…).
- Per ogni spostamento, la lunghezza dei suoi componenti rimane invariata.
- Per ogni spostamento, l’angolo formato per ogni coppia di componenti rimane invariato.
Il corpo rigido nel piano ha 3 gradi di libertà (o gdl) ovvero può muoversi liberamente in 3 direzioni, la coordinata x, la coordinata y e l’angolo \theta che forma con il sistema di riferimento, nello spazio il corpo rigido ha 6 gdl, oltre ai tre elencati ha coordinata z e angolo dell’asse \alpha che passa per il sio centro.
Ora vedremo una sequela di movimenti che il corpo rigido può fare:
Tralsazione
Cambiano le coordinate di A e B ma \theta rimane costante, letteralmente trasla.
Rotazione
\vec{\delta} = \delta \vec{k}
Modifica la posizione mantenendo fisso un suo punto, es. A.
A è chiamato centro di rotazione.
Rototraslazione
Varia posizione e angolo, si perde il centro di rotazione.
Questo movimento si analizza spezzetandolo nei due moti:
- Tralsazione.
- Rotazione
Atto di moto
- Traslatorio
Se le componenti hanno velocità uguale in modulo, direzione e verso.
- Rotatorio
Se una componente ha una velocità a zero, quella componente viene chiamata centro di istantanea rotazione, può avere velocità \not ={0} in un altro istante.
Il centro di rotazione ha velocità nulla per tutto il moto.
Se le velocità sono tutte diverse in modulo, direzione e verso, allora esiste un CIR attorno al quale sto ruotando.
(B - O) = (A - O) + (B - A)
(A - O) = x_A \vec{i} + y_A \vec{j}
Velocità
\frac{d}{dt} (B - O) = \frac{d}{dt} (A - O) + \frac{d}{dt} (B - A)
Teorema di Rivals per le velocità
\vec{v_B} = \vec{v_A} + \overline{AB} i \dot{\theta} e^{i\theta} = \vec{v_A} + \overline{AB} \dot{\theta} e^{i(\theta + \frac{\pi}{2})}
\vec{w} = \dot{\theta} \vec{k} = w \vec{k} = w \overline{AB}
\vec{V_B} = \vec{V_A} + \vec{w} \times (B - A) = \vec{V_A} + \vec{V_B}
Accelerazione
\vec{a_B} = \vec{a_A} + \ddot{\theta}\overline{AB} e^{i(\theta + \frac{\pi}{2})} - \overline{AB} \dot{\theta^2}e^{i\theta}
Ottengo:
- componente tangenziale: \ddot{\theta} \overline{AB}.
- componente normale: - \dot{\theta^2} \overline{AB}.
Teorema di Rivals per le accelerazioni
\vec{a_B} = \vec{a_A} + \vec{a_{AB}}
\vec{a_B} = \vec{a_A} + \vec{a}_{AB}^{(t)} + \vec{a}_{AB}^{(n)}
\vec{a_B} = \vec{a_A} + \frac{d\vec{w}}{dt} \times (B - A) + \vec{w} \times \frac{d}{dt} (B - A) = \vec{a_A} + \dot{\vec{w}} \times (B - A) + \vec{w} \times [\vec{w} \times (B -A)]
\vec{a_B} = \vec{a_A} + \dot{\vec{w}} \times (B - A) - w^2 (B - A)
1.3 Vincoli
Capitolo che raggruppa e presenta le varie tipologie di vincoli.
Vincoli Tripli
Incastro
Il vincolo è triplo quindi vincola 3 gdl, che quindi impediscono i movimenti del piano, il corpo non ha più gradi di libertà.
Non può muoversi e non ruota.
\begin{cases} x_A (t) = 0\\ y_A (t) = 0\\ \theta (t) = 0 \end{cases}
\forall t
3 condizioni di vincolo - 3 gradi di libertà = 0.
Vincoli Doppi
Cerniera
\begin{cases} x_A (t) = 0\\ y_A (t) = 0 \end{cases}
\forall t, può ruotare 3 gradi di libertà - 2 condizioni di vincolo = 1 grado di libertà.
Pattino
\begin{cases} y_A (t) = 0\\ \theta (t) = 0 \end{cases}
\forall t, può muoversi parallelamente al piano, 3 gradi di libertà - 2 condizioni di vincolo = 1 grado di libertà.
Manicotto
\begin{cases} y_A (t) = 0\\ \theta (t) = 0 \end{cases}
\forall t, stessa cosa del pattino, in più nello spazio può ruotare sul proprio asse.
Vincoli Singoli
Carrello
\begin{cases} y_A (t) = 0 \end{cases}
\forall t, 3 gradi di libertà - 1 condizione di vincolo = 2 gradi di libertà rimanenti s, \theta.
Esempio di insiemi di vincoli:
Teorema dei moti relativi
Asssegno un osservatore fisso in A e uno mobile in B che ruota con esso, scomponendo il moto rototraslatorio in due moti poù facili da analizzare.
dati noti: x_{O1} (t), y_{O1} (t), \theta (t)
Si sa che il punto P rispetto a O è dato da: (P - O) = (O_1 - O) + (P - O_1) \implies x_P\vec{i} + y_P\vec{j} = x_{O1}\vec{i} + y_{O1}\vec{j} + y_{P,1}\vec{i_1} + y_{P,1}\vec{j_1}.
Questo è quello che si fa sostanzialmente con i moti relativi, si crea un Sistema di Riferimento fisso (X,Y) e uno mobile (X_1,Y_1) e si determina la posizione del punto P nello spazio e nel tempo.
Velocità
\frac{d}{dt} (P - O) = \frac{d}{dt} (O_1 - O) + \frac{d}{dt} (P - O_1)
\dot{x_P}\vec{i} + \dot{y_P}\vec{j} = \dot{x_{O1}} \vec{i} +\dot{y_{O1}} \vec{j} + \dot{x_{P,1}} \vec{i_1} + \dot{y_{P,1}} \vec{j_1} + x_{P,1} \frac{d\vec{i_1}}{dt} + y_{P,1} \frac{d\vec{j_1}}{dt}
\vec{v_P} = \vec{v_{O1}} + \vec{v_{rel, P}} + \vec{w} \times (x_{P,1} \vec{i_1} + y_{P,1} \vec{j_1})
\vec{v_P} = \vec{v_{O1}} + \vec{v_{rel,P}} + \vec{w} \times (P - O_1)
Per capire il valore (P - O_1) c’è bisogno di un analisi con la scomposizione su \vec{i_1}, \vec{j_1}
|\overline{OA_1}| = |\overline{OA_2}| = 1
\begin{cases} A_1 - O_1 = \vec{i_1}\\ A_2 - O_1 = \vec{j_1} \end{cases}
\begin{cases} (A_1 - O) = (O_1 - O) + (A_1 - O_1)\\ (A_2 - O) = (0_1 - O) + (A_2 - O_1) \end{cases}
\frac{d}{dt} (A_1 - O) = \frac{d}{dt} (O_1 - O) + \frac{d}{dt} (A_1 - O_1)
\vec{v_{A_1}} = \vec{v_{O_1}} + \frac{d \vec{i_1}}{dt}
Per Rivals \vec{v_{A_1}} = \vec{v_{O_1}} + \vec{w} \times (A_1 - O_1) \implies \vec{v_{O_1}} + \vec{w} \times (A_1 - O_1) = \vec{v_{O_1}} + \frac{d \vec{i_1}}{dt}
Da qui siamo arrivati alla soluzione che cercavamo con la scomposizione, questo si chiama Poisson.
\frac{d \vec{i_1}}{dt} = \vec{w} \times \vec{i_1}
\frac{d \vec{j_1}}{dt} = \vec{w} \times \vec{j_1}
La somma tra v_{O_1} + \vec{w} \times (P - O_1) si chiama velocità di trascinamento o \vec{v_{tr,P}} \implies \vec{v_P} = \vec{v_{tr,P}} + \vec{v_{rel,P}}.
Accelerazione
\vec{a_P} = \frac{d \vec{v_P}}{dt} = \frac{d}{dt} \vec{v_{O_1}} + \frac{d}{dt}(\vec{w} \times (P - O_1)) + \frac{d}{dt} \vec{v_{rel,P}}.
d(\vec{w} \times (P - O_1)) = \frac{d \vec{w_1}}{dt} \times (P - O_1) + \vec{w} \times \frac{d}{dt} (P - O_1) \implies \vec{\dot{w}} \times (P - O_1) + \vec{w} \times v_{rel,P} + \vec{w} \times [\vec{w} \times (P - O_1)]
\frac{d v_{rel,P}}{dt} = \ddot{x_{P,1}} \vec{i_1} + \ddot{y_{P,1}} \vec{j_1} + \dot{x_{P,1}} \frac{d \vec{i_1}}{dt} + \dot{y_{P,1}} \frac{d \vec{j_1}}{dt}\\ = \vec{a_{rel,P}} + \dot{x_{P,1}} \vec{w} \times \vec{i_1} + \dot{y_{P,1}} \vec{w} \times \vec{j_1}\\ = \vec{a_{rel,P}} + \vec{w} \times (\dot{x_{P,1}} \vec{i_1} + \dot{y_{P,1}} \vec{j_1}) = \vec{a_{rel,P}} + \vec{w} \times \vec{v_{rel,P}}
\vec{a_P} = \vec{a_{O_1}} + \dot{\vec{w}} \times (P - O_1) + \vec{w} \times [\vec{w} \times (P - O_1)] + 2 \vec{w} \times \vec{v_{rel,P}} + \vec{a_{rel,P}} \implies a^{(t)} + a^{(n)} + 2 \vec{w} \times \vec{v_{rel,P}} + \vec{a_{rel,P}}
Con a^{(t)} = accelerazione tangeziale e a^{(n)} = accelerazone normale.
Teorema di Coriolis
\vec{a_P} = \vec{a_{tr,P}} + \vec{a_{rel,P}} + \vec{a_{co}}
\vec{a_{co}} = Accelerazione di Coriolis
\vec{a_{co}} = 0 in certi casi:
- \vec{w} // \vec{v_{rel,P}} (impossibile nel piano)
- \vec{w} = 0
- \vec{v_{rel,P}} = 0
Capitolo Due: I sistemi meccanici
Sistema meccanico: insieme di corpi rigidi vincolati tra loro e vincolati a un corpo esterno fisso, chiamato telaio.
Grübler
Hp:
- Sistema piano.
- Vincoli connettono al più 2 corpi.
Calcolo gradi di libertà: n = n_0 - n_v = 3n_c - (1n_1 + 2n_2 +3n_3)
con n_c = numero di corpi rigidi, n_1 = numero vincoli singoli, n_2 = numero vincoli doppi e n_3 = numero vincoli tripli.
2.1 Esempi e definizioni
n_c = 2 \implies n = 3n_c = 6 gdl.
n_v = 2*2 = 4 \implies n = 3*2 - 4 = 2 gdl, \alpha, \beta
n_v = 2*2 + 1*1 = 5 \implies n = 6 - 5 = 1 gdl, \alpha \lor c
n_v = 2*3 = 6 \implies n = 6 - 6 = 0 gdl, n_v = n_0
n_v = 2*2 + 3*1 = 7 \implies n = 6 - 7 = 0gdl, n_v > n_0
Nomenclatura
- n = 0 gdl \implies Struttura.
- n \geq 1 gdl \implies Meccanismo.
- n_v = n_0 \implies Isostatica.
- n_v > n_0 \implies Iperstatica.
Anche il meccanismo si può identificare in due sottoclassi:
- Catena cinematica aperta: Ogni corpo (telaio incluso) è sempre connesso al corpo che lo precede o al corpo che lo segue.
- Catena cinematica chiusa: Ogni corpo (telaio incluso) è sempre connesso al corpo che lo precede e al corpo che lo segue.
Su una catena chiusa ho un equazione di chiusura, derivandola rispetto al tempo posso avere: posizione, velocità e accelerazione di ogni corpo.
2.2 Selective Compliance Assembly Robot Arm (SCARA)
2 gdl : \alpha, \beta \to \alpha (t), \beta (t)
(B - O) = (A - O) + (B - A)
N.B. Qui NON abbiamo alcuna equazone di chiusura perchè non ho corpi che chiudono il meccanismo.
Qui procederemo con la solita procedura per trovare posizione, velocità e accelerazione quindi se non si vuole rivedere tutta la procedura skippate direttamente ai capitoli desiderati e avrete la formula.
Intato guardiamo tutto con la forma più elegante e bella che sia mai stata inventata, la forma complessa: (B - O) = ae^{i\alpha} + be^{i(\alpha + \beta)}
Posizione
\begin{cases} x_B = a cos (\alpha) + b cos (\alpha + \beta)\\ y_B = a sin (\alpha) + b sin (\alpha + \beta) \end{cases}
Velocità
\vec{v_B} = a \dot{\alpha} e^{i (\alpha + \frac{\pi}{2})} + b (\dot{\alpha} + \dot{\beta})e^{i(\alpha + \beta \frac{\pi}{2})}
\begin{cases} \vec{v_{X,B}} = -a \dot{\alpha} sin(\alpha) - b (\dot{\alpha} + \dot{\beta}) sin (\alpha + \beta)\\ \vec{v_{Y,B}} = a \dot{\alpha} cos (\alpha) + b (\dot{\alpha} + \dot{\beta}) cos (\alpha + \beta) \end{cases}
Ora approccio differente, proviamo a derivare la velocità usando i moti relativi.
\vec{v_B} = \vec{v_{tr,B}} + \vec{v_{rel,B}}
Introduco un sistema di riferimento mobile in A, vedendolo come un moto circolatorio con velocità angolare \vec{w}.
Sapendo che nella terna traslante w_t = 0
\vec{v_{tr,B}} = \vec{v_A} + \cancel{\vec{w_t} \times (B - A)} \implies a \dot{\alpha} e^{i(\alpha + \frac{\pi}{2})}
\vec{v_{rel,B}} = \vec{w_{BA}} \times (B - A) \implies b(\dot{\alpha} + \dot{\beta}) e^{i(\alpha + \beta + \frac{\pi}{2})}
\vec{v_B} = a \dot{\alpha}e^{i(\alpha + \frac{\pi}{2})} + b(\dot{\alpha} + \dot{\beta}) e^{i(\alpha + \beta + \frac{\pi}{2})}
Accelerazione
\vec{a_B} = a \ddot{\alpha}e^{i(\alpha + \frac{\pi}{2})} - a \dot{\alpha^2} e^{i\alpha} + b(\ddot{\alpha} + \ddot{\beta})e^{i (\alpha + \beta + \frac{\pi}{2})} - b(\dot{\alpha} + \dot{\beta})^2 e^{i(\alpha + \beta)}
\begin{cases} \ddot{x_B} = -a\ddot{\alpha} sin (\alpha) - a \dot{\alpha^2} cos(\alpha) - b (\ddot{\alpha} + \ddot{\beta}) sin (\alpha + \beta) - b (\dot{\alpha} + \dot{\beta})^2 cos(\alpha + \beta)\\ \ddot{y_B} = a \ddot{\alpha} cos (\alpha) - a \dot{\alpha^2} sin (\alpha) + b (\ddot{\alpha} + \ddot{\beta}) cos (\alpha + \beta) - b (\dot{\alpha} + \dot{\beta})^2 sin (\alpha + \beta) \end{cases}
\vec{a_B} = \ddot{x_B} \vec{i} + \ddot{y_B} \vec{j}
Come prima abbiamo derivato la velocità anche con i moti relativi qui proveremo a ricavare l’accelerazione con il Teorema di Coriolis.
\vec{a_B} = \vec{a_{tr,B}} + \vec{a_{rel,B}} + \cancel{\vec{a_{co}}}
\vec{a_{co}} = 2 \vec{w_t} \times \vec{v_rel,B} = \vec{0} \implies \vec{w_t} = 0 \implies \dot{\vec{w_t}} = 0
\vec{a_{tr,B}} = \vec{a_A} + \cancel{\dot{\vec{w_t}} \times (B - A)} + \cancel{\vec{w_t} \times \vec{w_t} \times (B - A)} \implies \dot{\vec{w_{AO}}} \times (A - O) + \vec{w_{AO}} \times \vec{w_{AO}} \times (A - O)
\vec{a_{rel,B}} = \dot{\vec{w_{AB}}} \times (B - A) + \vec{w_{AB}} \times \vec{w_{AB}} \times (B - A)
\vec{a_B} = \vec{a_{tr,B}^{(t)}} + \vec{a_{tr,B}^{(n)}} + \vec{a_{rel,B}^{(t)}} + \vec{a_{rel,B}^{(n)}}
\vec{a_B} = a \ddot{\alpha}e^{i(\alpha + \frac{\pi}{2})} - a \dot{\alpha^2} e^{i\alpha} + b (\ddot{\alpha} + \ddot{\beta})e^{i(\alpha + \beta \frac{\pi}{2})} - b(\dot{\alpha} + \dot{\beta})^2 e^{i (\alpha + \beta)}
2.3 Manovellismo
n_c = 3
n_0 = 3*3 = 9
n_v = 4*2 = 8 \implies n = 1 gdl
Questo sistema meccanico può essere schematizzato anche come:
Manovellismo ordinario centrato
n_c = 2, n_0 = 6, n_v = 2*2 + 1 = 5 \implies n = 1 gdl
Si può notare che cambiamo il punto di vista del numero dei corpi e dei vincoli ma i gradi di libertà rimangono invariati.
Manovellismo ordinario deviato
In questo corso tratteremo principalmente “manovellismo ordinario centrato”.
Esempio
Consideriamo un manovellismo ordinario centrato.
Noti \alpha (t), \dot{\alpha} (t), \ddot{\alpha} (t)
Si vogliono cercare \vec{v_B}, \vec{a_B}, \dot{\beta}. \ddot{\beta}
Posizione
Per studiarne il movimento cercando i dati richiesti, guarderemo il sistema guardando i punti da lui raggiungibili, partiamo dal punto morto esterno (PME).
\alpha = 0, c = c_{MAX} = a + b, v_B = 0, |a_B| = |a_{MAX}|
Ora quando \alpha = \frac{\pi}{2}
Abbiamo che |v_B| \approx |v_{MAX}|
Questa apprissimazione è vera quanto più il rapporto caratteristico del manovellismo \lambda = \frac{a}{b} è più piccolo di 1.
\delta \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})
\beta = 2 \pi - \delta
Inoltre sappiamo che in questa figura cos(\beta) > 0 sempre.
Ora guardiamo quando ci troviamo nel punto morto interno(PMI)
c = c_{min} = b - a, v_B = 0, |a_B| = |a_{MAX}|
Questo grafico indica il cambiamento della posizione al variare dell’angolo \alpha
Velocità
Si può dare anche una rappresentazione vettoriale della catena chiusa.
Una catena chiusa ha anche un equazione di chiusura: \vec{c} = \vec{a} + \vec{b}
Mettendo la vettorializzazione in un sistema di riferimento troviamo che l’equazione di chiusura è rappresentabile come: a e^{i \alpha} + be^{i \beta} = c e^{i\gamma} = c
Ora proiettiamo su x e y e ricaviamo il seguente sistema.
\begin{cases} x : a cos (\alpha) + b cos (\beta) = c\\ y : a sin (\alpha) + b sin (\beta) = 0 \end{cases}
sin (\beta) = - \frac{a}{b} sin (\alpha) = - \lambda sin (\alpha)
cos^2(\beta) + sin^2(\beta) = 1 \implies cos (\beta) = + \sqrt{1 - \lambda^2 sin^2 (\alpha)}
La radice dovrebbe avere + e - davanti ma essendo il coseno solo positivo il - non lo consideriamo.
cos (\beta) = + \sqrt{1 - \lambda^2 sin^2 (\alpha)}
c = a cos (\alpha) + b \sqrt{1 - \lambda^2 sin^2(\alpha)}, ma essendo \lambda<<1 lo approssimo a \lambda = 0, questo è impossibile fisicamente ma per i calcoli approssimiamo.
c \cong a cos (\alpha) + b \implies approssimazione del primo ordine
Per cercare la velocità derivo rispetto al tempo:
ia \dot{\alpha}e^{i\alpha} + i b \dot{\beta} e^{i\beta} = \dot{c}
\dot{\alpha} a e ^{i(\frac{\pi}{2} + \alpha)} + \dot{\beta} b e^{i(\frac{\pi}{2} + \beta)} = \dot{c}
con w_t = 0
\vec{v}_{tr,B} + \vec{v}_{rel,B} = \vec{v}_B
Proietto su x e y e dopo metto tutto in forma matriciale.
\begin{cases} x : -a\dot{\alpha} sin (\alpha) - b \dot{\beta} sin (\beta) = \dot{c}\\ y: a \dot{\alpha} cos(\alpha) + b \dot{\beta} cos (\beta) = 0 \end{cases}
\begin{bmatrix} 1 & b sin(\beta)\\ 0 & -b cos(\beta) \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \dot{c}\\ \dot{\beta} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} -a \dot{\alpha} sin (\alpha)\\ a \dot{\alpha} cos (\alpha) \end{Bmatrix}
[A] \underline{X} = \underline{Y} \implies \underline{X} = [A]^{-1} \underline{Y}
\dot{\beta} = - \frac{a \dot{\alpha} cos (\alpha)}{b cos (\beta)}
[A]^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & tan (\beta)\\ 0 & - \frac{1}{b cos (\beta)} \end{bmatrix}
Otteniamo quindi che:
\dot{c} = -a \dot{\alpha} sin (\alpha) + a \dot{\alpha} cos (\alpha) tan (\beta)
A questo punto introduciamo lo Jacobiano \curlywedge_B = \frac{v_B}{\dot{\alpha}} = \frac{\dot{c}}{\dot{\alpha}} = \frac{d c}{\cancel{dt}} * \frac{\cancel{dt}}{d \alpha} = \frac{dc}{d \alpha}
\curlywedge_B = - a(sin (\alpha) - cos (\alpha) tan(\beta)) = \curlywedge_B (\alpha)
v_B = \curlywedge w = \frac{dc}{d \alpha} w
Accelerazione
a \ddot{\alpha} e^{i (\alpha + \frac{\pi}{2})} - a \dot{\alpha^2} e^{i\alpha} + b \ddot{\beta} e^{i(\beta + \frac{\pi}{2})} - b \dot{\beta^2} e^{i\beta} = \ddot{c}
\vec{a}_{co} = 2 \vec{w}_t \times \vec{v}_{rel,B} = \vec{0}
Questo perchè \vec{w}_t = \vec{0}
\begin{cases} -a \ddot{\alpha} sin (\alpha) - a \dot{\alpha^2} cos (\alpha) - b \ddot{\beta} sin (\beta) - b \dot{\beta^2} cos (\beta) = \ddot{c}\\ -a \ddot{\alpha} cos (\alpha) - a \dot{\alpha^2} sin (\alpha) + b \ddot{\beta} cos (\beta) - b \dot{\beta^2} sin (\beta) = 0 \end{cases}
\begin{bmatrix} 1 & b sin(\beta)\\ 0 & -b cos(\beta) \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \ddot{c}\\ \ddot{\beta} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} -a \ddot{\alpha} sin (\alpha) - a \dot{\alpha^2} cos (\alpha) - b \ddot{\beta} sin (\beta) - b \dot{\beta^2} cos (\beta)\\ -a \ddot{\alpha} cos (\alpha) - a \dot{\alpha^2} sin (\alpha) + b \ddot{\beta} cos (\beta) - b \dot{\beta^2} sin (\beta) \end{Bmatrix}
v_B = \curlywedge (\alpha) \dot{\alpha}
a_B = \frac{d \curlywedge (\alpha)}{dt} \dot{\alpha} + \curlywedge(\alpha) \ddot{\alpha} = \frac{d}{dt}(\frac{dc}{d\alpha}) \dot{\alpha} + \frac{dc}{d\alpha} \ddot{\alpha} = \frac{d^2 c}{d\alpha^2} \dot{\alpha^2} + \frac{dc}{d\alpha} \ddot{\alpha}
Capitolo Tre: Statica
In questo capitolo studieremo la statica del punto e del corpo, e i metodi per capirne l’equilibrio.
3.1 Statica del punto materiale
Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio statico del punto materiale: \vec{R} = \vec{0}, La condizione NeS affinchè un punto materiale si dica in equilibrio è che la risultate delle forse attive e reattive, \vec{R}, che agiscono sul corpo sia nulla, \implies \Sigma_{i=1}^n \vec{F}_i = \vec{0}
Esempio
Avendo noto che la forza F applicata a P sia: F = \frac{\sqrt{3}}{3} mg e che il corpo è in equilibrio determiniamo l’angolo \theta.
Studiando le forze nel dettaglio notiamo che:
Impostiamo quindi le condizioni di equilibrio.
\begin{cases} R_x = 0\\ R_y = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} F - T sin (\theta) = 0\\ T cos (\theta) - mg = 0 \end{cases}
tan (\theta) = \frac{F}{mg} = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies \theta = 30°
T = \frac{F}{sin (\theta)} = 2F
3.2 Statica del corpo rigido
Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio statico del corpo rigido: La codizione NeS affinchè un corpo rigido si possa definire in equilibrio è che:
- La risultate delle forze attive e reattive, \vec{R}, si annulli. \vec{R} = 0 \implies \Sigma_{i = 1}^n \vec{F}_i = \vec{0}
- La risultate dei momenti di tutte le forze, \vec{M}_O, si annulli su in generico polo O. \vec{M}_O = \vec{0} \implies \Sigma_{i = 1}^n (P_i - O) \times \vec{F}_i + \Sigma_{j = 1}^m \vec{C}_j = \vec{0}.
Con \Sigma_{i = 1}^n (P_i - O) \times \vec{F}_i che indica il momento di F_i e \Sigma_{j = 1}^m \vec{C}_j che indica le coppie.
Momento
\vec{M}_O = (P - O) \times \vec{F} = F \overline{PO} sin (\theta) \vec{k} = F \overline{OH} \vec{k} = F b \vec{k}
con b che indica il braccio ovvero la distanza dal polo O.
\vec{M}_O = (x_P \vec{i} + y_P \vec{j}) \times (F_x \vec{i} + F_y \vec{j}) = x_P F_y \vec{k} - F_x y_P \vec{k} = (F_y x_P - F_x y_P)\vec{k}
Coppia
Si idicano come coppie quel “sistema” che ha:
- \vec{F}_1 // \vec{F}_2
- |\vec{F}_1| = |\vec{F}_2| = F
- \vec{F}_1 = -\vec{F}_2
- P_1 \not ={P_2}
\vec{C} = F d \vec{k}
\vec{M}_O = (P_1 - O) \times \vec{F}_1 + (P_2 - O) \times \vec{F}_2 = (P_1 - O) \times \vec{F}_1 - (P_2 - O) \times \vec{F}_1 = [(P_1 - O) - (P_2 - O)] \times \vec{F}_1 = (P_1 - P_2) \times \vec{F}_1 \implies F d \vec{k}
Capitolo Fatal Error
Capitolo in cui si raggruppano tutti i Fatal Error del corso, errori che possono comportare la bocciatura.
- La velocità è SEMPRE tangente alla traiettoria.
- L’accelerazione è SEMPRE composta da \vec{a} = a_t \vec{t} + a_n \vec{n} quindi da accelerazione tangenziale e normale, solo in certi casi una delle due componenti si annulla.